等分除的例子

問題：5杯紅茶100元，一杯是多少元？

每杯一樣價錢的紅茶，要將100元「平分」成5份。

→ 等分除
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問題：24公里花了4小時，時速是多少公里？

若每小時走的距離都相同，4小時走了24公里，將24公里「平分」成4等份。

→ 等分除
上一篇：到底是哪一個？

上一篇：到底是哪一個？

包含除的例子

問題： 11, 15, 19, ..., 47, 51共有幾個數？

將11, 15, ..., 51 標示在數線上：

11到51距離長40單位，且11，15，19之間皆相差4單位，將40單位的距離「每4單位一數」可數得10個間隔，故有11個數。

→ 包含除
上一篇：到底是哪一個？

問題： 今天是星期二，過60天是星期幾？

將經過的天數標示在月曆上，因為星期數每七天一個循環，故將60天「每7天一數」可數8次，還剩4天，也就是經過8個禮拜又4天，星期二再過4天，得星期六。

→ 包含除
上一篇：到底是哪一個？

問題：用每分鐘125公尺的速度跑完1000公尺，要多少分鐘？

每1分鐘跑125公尺，那麼1000公尺「每125公尺一數」可數出8個125公尺，故要8分鐘。

→ 包含除
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上一篇：到底是哪一個？

到底是哪一個？

連減概念 ←→ 包含除

平分概念 ←→ 等分除

下面幾個會用除法來解題的數學題目，有哪些是包含除，哪些是等分除呢？

• 今天是星期二，過60天是星期幾？ [答]
• 5杯紅茶100元，一杯是多少元？ [答]
• 24公里花了4小時，時速是多少公里？ [答]
• 用每分鐘125公尺的速度跑完1000公尺，要多少分鐘？ [答]
• 900公分的繩子是多少公尺？
• 11, 15, 19, ..., 47, 51共有幾個數？ [答]

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長除法與等分除

阿德和朋友打工賺了 7458 元，若要三人平分，問每人分得多少元？

將 7458 元視為7張千元鈔、4張百元鈔、5個十元幣、8個一元幣，一步步從最大面額來分：

1. 每人分2張千元鈔，去掉6張千元鈔，剩下1張不能分，將1張千元鈔換成10張百元鈔。這時剩下14張百元鈔、5個十元幣、8個一元幣還沒分，每人有2張千元鈔。
2. 每人分4張百元鈔，去掉12張百元鈔，剩下2張不能分，將2張百元鈔換成20個十元幣。這時剩下25個十元幣、8個一元幣還沒分，每人有2張千元鈔和4張百元鈔。
3. 每人分8個十元幣，去掉24個十元幣，剩下1個不能分，將1個十元幣換成10個一元幣。這時剩下18個一元幣還沒分，每人有2張千元鈔、4張百元鈔和8個十元幣。
4. 每人分6個一元幣，去掉18個一元幣，恰好全部分完，每人分得2張千元鈔、4張百元鈔、8個十元幣、6個一元幣，總共是2486元

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除法的精髓：等分除

阿寶有二十顆彈珠，要平分在三個塑膠袋裡，問每袋裝了幾顆？還剩幾顆？

要平分成三份，一開始也不知道每份該有多少，我們可以這樣做：每次各給塑膠袋一顆。如此一來三個袋子中的彈珠一定一樣多，反覆操作直到彈珠沒辦法再分，步驟如下：

1. 拿出三顆彈珠，各給塑膠袋一顆，每個袋中有1顆，還剩17顆沒分
2. 拿出三顆彈珠，各給塑膠袋一顆，每個袋中有2顆，還剩14顆沒分
3. 拿出三顆彈珠，各給塑膠袋一顆，每個袋中有3顆，還剩11顆沒分
4. 拿出三顆彈珠，各給塑膠袋一顆，每個袋中有4顆，還剩8顆沒分
5. 拿出三顆彈珠，各給塑膠袋一顆，每個袋中有5顆，還剩5顆沒分
6. 拿出三顆彈珠，各給塑膠袋一顆，每個袋中有6顆，還剩2顆沒分

每次各給塑膠袋一顆，就變成「每次拿出三顆、共可拿出幾次，還剩幾顆？」這個過程很巧妙地把平分問題轉化成上一篇提過的連減問題，換句話說等分除是從包含除來的。

每次各分配一顆的過程：

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除法的基礎：包含除

阿寶有二十顆彈珠，每三顆裝在一個塑膠袋裡，問裝了幾袋？還剩幾顆？

如果一個步驟一個步驟來裝：

1. 拿出三顆，裝了一個袋子，這時裝成袋子的有3顆，還剩17顆沒裝
2. 拿出三顆，再裝一個袋子，這時裝成袋子的有6顆，還剩14顆沒裝
3. 拿出三顆，再裝一個袋子，這時裝成袋子的有9顆，還剩11顆沒裝
4. 拿出三顆，再裝一個袋子，這時裝成袋子的有12顆，還剩8顆沒裝
5. 拿出三顆，再裝一個袋子，這時裝成袋子的有15顆，還剩5顆沒裝
6. 拿出三顆，再裝一個袋子，這時裝成袋子的有18顆，還剩2顆沒裝

二十顆可以每次拿三顆共拿出幾次？由上面步驟可知，可以拿六次，還會剩兩顆，所以二十可以連續減去三共減去六次，直到剩下二不夠減。這是「連減」的過程，如果把三顆一數的彈珠圈起來，這就是過程：

順便注意圈起來的三顆彈珠，其實就是「連加」的結果，數學上記為 20÷3＝6…2 ，和 20＝3×6＋2 是互相呼應的。

乘法是連加的結果，除法是連減的結果

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一切都是數數兒

講除法之前，先聊聊乘法。聊乘法之前，先看看加法。加法有什麼好看呢？不就數數兒嗎？對！就是數數兒，從計數開始一直發展到現在森羅萬象的數學，起源就是這個數數兒，為了避免加法的繁瑣，我們把「連加」計為「乘」，例如：

市場賣蘋果每袋三顆，阿文買了五袋，是多少顆蘋果？

五個3累積成15，計為 3＋3＋3＋3＋3＝3×5＝15

又例如：

大賣場賣蘋果每包五顆，阿明買了三包，是多少顆蘋果？

三個5累積成15，計為 5＋5＋5＝5×3＝15

由上面兩例可知，將兩個整數的乘積寫成矩陣形式，甲×乙＝乙×甲，這是顯而易見的乘法交換律，是後續談到除法時會再用到的計數性質。

「連加」是「乘法」，那麼有沒有「連減」呢？

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前言

過去唸書時沒有學到除法還有分類，雖然我記性很差，但很確定中小學沒有學過這塊，一直到出社會後工作上的需要，去旁聽大學的數學教育課程，才對除法有真正的認識。數學教育相關領域的人應該都會稍微知道包含除與等分除，但似乎不是每個教育人員都會強調這點，我詢問過幾個學生，有教的老師偏少數，而且是極少數。到底該不該教、該不該學呢？

我認為還是必要的，弄清楚除法後對很多數與量有更深的體會，但不會也沒關係，我們不也是在一無所知下長大、並學了較高等的數學嗎？只是反思過去的學習過程，會震驚那是一段段給自己填鴨的結果，我只是在反覆操作，根本不知道其中的道理。如果數學不只是一個在人生中拖累你的學科，認為數學稍微有點用處的話，我想都應該來認識一下除法的細節。和現在小孩子相處我發現，他們都比我們以前聰明，講解除法可以一點就通，不像我們成年人們學得很吃力；但現在孩子也容易忘，容易分心，往往選擇最快的步驟，錯過基礎的思維。

往下看之前先來看兩個問題：

1

想一想什麼時候會計算 100÷7＝14…2 ？想一個情境或應用題。
.
.
.
.
你的答案會和下面類似嗎？
100顆蘋果平分給7個人，每人分得14顆，還剩2顆。
100個饅頭平分成7盤，每盤裝14個，還剩2個。

那麼如何解釋「100以內7的倍數有14個」，大部份人都會算 100÷7＝14…2，但為什麼要「把100平分成7份」呢？(*1)

又如何解釋「每秒跑5公尺的小明，跑100公尺要20秒」大部份的人都很清楚「時間＝距離÷速率」要算 100÷5＝20，那麼這算式是「把100平分成5份」的意思嗎？

2

如何解釋除法直式。

為什麼是先看 10÷7＝1…3 後
把0放下來成為30
再 30÷7＝4…2 呢？

如果有你心裡浮起了問號，而且有興趣對除法有更多的認識，希望下面的介紹對你有幫助。有任何疑問歡迎留言，有任何心得也希望不吝指教。

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(*1) 其實這也能用同餘來說明，但這裡暫不討論

目錄

1. 前言
2. 一切都是數數兒
3. 除法的基礎：包含除
4. 除法的精髓：等分除
5. 長除法與等分除
6. 長除法與包含除
7. 到底是哪一個？
8. 包含除的例子
9. 等分除的例子
10. 分數
11. 小數